3.366 \(\int \frac{(e x)^m}{(a+b x)^3 (a d-b d x)^4} \, dx\)

Optimal. Leaf size=98 \[ \frac{b (e x)^{m+2} \, _2F_1\left (4,\frac{m+2}{2};\frac{m+4}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^8 d^4 e^2 (m+2)}+\frac{(e x)^{m+1} \, _2F_1\left (4,\frac{m+1}{2};\frac{m+3}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^7 d^4 e (m+1)} \]

[Out]

((e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2])/(a^7*d
^4*e*(1 + m)) + (b*(e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[4, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (b^2
*x^2)/a^2])/(a^8*d^4*e^2*(2 + m))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.177765, antiderivative size = 98, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 3, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.125 \[ \frac{b (e x)^{m+2} \, _2F_1\left (4,\frac{m+2}{2};\frac{m+4}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^8 d^4 e^2 (m+2)}+\frac{(e x)^{m+1} \, _2F_1\left (4,\frac{m+1}{2};\frac{m+3}{2};\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )}{a^7 d^4 e (m+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[(e*x)^m/((a + b*x)^3*(a*d - b*d*x)^4),x]

[Out]

((e*x)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[4, (1 + m)/2, (3 + m)/2, (b^2*x^2)/a^2])/(a^7*d
^4*e*(1 + m)) + (b*(e*x)^(2 + m)*Hypergeometric2F1[4, (2 + m)/2, (4 + m)/2, (b^2
*x^2)/a^2])/(a^8*d^4*e^2*(2 + m))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 25.3392, size = 80, normalized size = 0.82 \[ \frac{\left (e x\right )^{m + 1}{{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 4, \frac{m}{2} + \frac{1}{2} \\ \frac{m}{2} + \frac{3}{2} \end{matrix}\middle |{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}} \right )}}{a^{7} d^{4} e \left (m + 1\right )} + \frac{b \left (e x\right )^{m + 2}{{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 4, \frac{m}{2} + 1 \\ \frac{m}{2} + 2 \end{matrix}\middle |{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}} \right )}}{a^{8} d^{4} e^{2} \left (m + 2\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((e*x)**m/(b*x+a)**3/(-b*d*x+a*d)**4,x)

[Out]

(e*x)**(m + 1)*hyper((4, m/2 + 1/2), (m/2 + 3/2,), b**2*x**2/a**2)/(a**7*d**4*e*
(m + 1)) + b*(e*x)**(m + 2)*hyper((4, m/2 + 1), (m/2 + 2,), b**2*x**2/a**2)/(a**
8*d**4*e**2*(m + 2))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 0.363841, size = 144, normalized size = 1.47 \[ \frac{a (m+2) x (e x)^m F_1\left (m+1;4,3;m+2;\frac{b x}{a},-\frac{b x}{a}\right )}{d^4 (m+1) (a-b x)^4 (a+b x)^3 \left (b x \left (4 F_1\left (m+2;5,3;m+3;\frac{b x}{a},-\frac{b x}{a}\right )-3 \, _2F_1\left (4,\frac{m}{2}+1;\frac{m}{2}+2;\frac{b^2 x^2}{a^2}\right )\right )+a (m+2) F_1\left (m+1;4,3;m+2;\frac{b x}{a},-\frac{b x}{a}\right )\right )} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]  Integrate[(e*x)^m/((a + b*x)^3*(a*d - b*d*x)^4),x]

[Out]

(a*(2 + m)*x*(e*x)^m*AppellF1[1 + m, 4, 3, 2 + m, (b*x)/a, -((b*x)/a)])/(d^4*(1
+ m)*(a - b*x)^4*(a + b*x)^3*(a*(2 + m)*AppellF1[1 + m, 4, 3, 2 + m, (b*x)/a, -(
(b*x)/a)] + b*x*(4*AppellF1[2 + m, 5, 3, 3 + m, (b*x)/a, -((b*x)/a)] - 3*Hyperge
ometricPFQ[{4, 1 + m/2}, {2 + m/2}, (b^2*x^2)/a^2])))

_______________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.145, size = 0, normalized size = 0. \[ \int{\frac{ \left ( ex \right ) ^{m}}{ \left ( bx+a \right ) ^{3} \left ( -bdx+ad \right ) ^{4}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((e*x)^m/(b*x+a)^3/(-b*d*x+a*d)^4,x)

[Out]

int((e*x)^m/(b*x+a)^3/(-b*d*x+a*d)^4,x)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\left (e x\right )^{m}}{{\left (b d x - a d\right )}^{4}{\left (b x + a\right )}^{3}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((e*x)^m/((b*d*x - a*d)^4*(b*x + a)^3),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((e*x)^m/((b*d*x - a*d)^4*(b*x + a)^3), x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left (\frac{\left (e x\right )^{m}}{b^{7} d^{4} x^{7} - a b^{6} d^{4} x^{6} - 3 \, a^{2} b^{5} d^{4} x^{5} + 3 \, a^{3} b^{4} d^{4} x^{4} + 3 \, a^{4} b^{3} d^{4} x^{3} - 3 \, a^{5} b^{2} d^{4} x^{2} - a^{6} b d^{4} x + a^{7} d^{4}}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((e*x)^m/((b*d*x - a*d)^4*(b*x + a)^3),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((e*x)^m/(b^7*d^4*x^7 - a*b^6*d^4*x^6 - 3*a^2*b^5*d^4*x^5 + 3*a^3*b^4*d^
4*x^4 + 3*a^4*b^3*d^4*x^3 - 3*a^5*b^2*d^4*x^2 - a^6*b*d^4*x + a^7*d^4), x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 35.3895, size = 8284, normalized size = 84.53 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((e*x)**m/(b*x+a)**3/(-b*d*x+a*d)**4,x)

[Out]

-2*a**5*e**m*m**4*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a*
*11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d*
*4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**
4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 15*a**5*e**m*m**3
*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(
-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m
+ 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m +
1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 3*a**5*e**m*m**3*x**m*lerchphi(a*e
xp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m
+ 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m +
1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1
) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 31*a**5*e**m*m**2*x**m*lerchphi(a/(b
*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*
b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**
4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*
d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 15*a**5*e**m*m**2*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*
x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b
**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4
*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d
**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 15*a**5*e**m*m*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I
*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m
+ 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m
+ 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m +
1)) - 15*a**5*e**m*m*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi)
)*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1)
+ 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1)
- 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1))
+ 2*a**4*b*e**m*m**4*x*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-
96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b*
*3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**
5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 15*a**4*b*e*
*m*m**3*x*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d*
*4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*
gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*g
amma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 3*a**4*b*e**m*m**3*x*x**m
*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*
d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**
2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4
*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 2*a**4*b*e**m*m**3*x*x*
*m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1
) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1
) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1))
+ 31*a**4*b*e**m*m**2*x*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/
(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*
b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b
**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 15*a**4*b*
e**m*m**2*x*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-
m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a*
*9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**
7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 20*a**4
*b*e**m*m**2*x*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d*
*4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*
x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x*
*5*gamma(-m + 1)) - 15*a**4*b*e**m*m*x*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*p
i))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m +
1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m +
1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)
) + 15*a**4*b*e**m*m*x*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*p
i))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m +
1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m +
1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)
) + 66*a**4*b*e**m*m*x*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10
*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b*
*4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6
*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 4*a**3*b**2*e**m*m**4*x**2*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1,
m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d*
*4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*
x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x*
*5*gamma(-m + 1)) - 30*a**3*b**2*e**m*m**3*x**2*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_
polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*ga
mma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*ga
mma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamm
a(-m + 1)) + 6*a**3*b**2*e**m*m**3*x**2*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1
, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d
**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4
*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x
**5*gamma(-m + 1)) + 62*a**3*b**2*e**m*m**2*x**2*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp
_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*g
amma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*g
amma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gam
ma(-m + 1)) - 30*a**3*b**2*e**m*m**2*x**2*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x),
1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2
*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d*
*4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4
*x**5*gamma(-m + 1)) + 4*a**3*b**2*e**m*m**2*x**2*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d*
*4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*
gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*g
amma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 30*a**3*b**2*e**m*m*x**2*
x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-
m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m +
1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m +
1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 30*a**3*b**2*e**m*m*x**2*x**m*lerch
phi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*g
amma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamm
a(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma
(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 18*a**3*b**2*e**m*m*x**2*x**m
*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1)
+ 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1)
- 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) -
4*a**2*b**3*e**m*m**4*x**3*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-
m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a*
*9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**
7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 30*a**2
*b**3*e**m*m**3*x**3*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96
*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3
*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*
d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 6*a**2*b**3*e*
*m*m**3*x**3*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(
-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a
**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a*
*7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 4*a**2
*b**3*e**m*m**3*x**3*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b
**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4
*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d
**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 62*a**2*b**3*e**m*m**2*x**3*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1,
m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**
4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x
**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**
5*gamma(-m + 1)) + 30*a**2*b**3*e**m*m**2*x**3*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(
b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10
*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b*
*4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6
*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 32*a**2*b**3*e**m*m**2*x**3*x**m*gamma(-m)/(-96*a**1
1*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4
*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*
x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 30*a**2*b**3*e**m*m
*x**3*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*g
amma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamm
a(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma
(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 30*a**2*b**3*e**m*m*x**3*x**m
*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*
d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**
2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4
*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 62*a**2*b**3*e**m*m*x**
3*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m
+ 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m
+ 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m +
1)) - 2*a*b**4*e**m*m**4*x**4*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamm
a(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192
*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*
a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 15*a
*b**4*e**m*m**3*x**4*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96
*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3
*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*
d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 3*a*b**4*e**m*
m**3*x**4*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)
/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9
*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*
b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 31*a*b**4
*e**m*m**2*x**4*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**1
1*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4
*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*
x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 15*a*b**4*e**m*m**2
*x**4*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-9
6*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**
3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5
*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 4*a*b**4*e**m
*m**2*x**4*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x
*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3
*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*g
amma(-m + 1)) + 15*a*b**4*e**m*m*x**4*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi
))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1
) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1
) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1))
- 15*a*b**4*e**m*m*x**4*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I
*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m
+ 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m
+ 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m +
1)) + 14*a*b**4*e**m*m*x**4*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*
a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a*
*8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6
*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 2*b**5*e**m*m**4*x**5*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1,
m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d*
*4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*
x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x*
*5*gamma(-m + 1)) - 15*b**5*e**m*m**3*x**5*x**m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar
(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-
m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-
m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m
+ 1)) + 3*b**5*e**m*m**3*x**5*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_po
lar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamm
a(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamm
a(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(
-m + 1)) + 2*b**5*e**m*m**3*x**5*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1)
+ 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 1
92*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96
*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 31*b**5*e**m*m**2*x**5*x**m*lerchphi(a/(b*
x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b
**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4
*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d
**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 15*b**5*e**m*m**2*x**5*x**m*lerchphi(a*exp_polar(I*pi)
/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**
10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*
b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b*
*6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 12*b**5*e**m*m**2*x**5*x**m*gamma(-m)/(-96*a**11*b
*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x*
*2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**
4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) - 15*b**5*e**m*m*x**5*x*
*m*lerchphi(a/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m
+ 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1
) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1)
+ 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 15*b**5*e**m*m*x**5*x**m*lerchphi(a*e
xp_polar(I*pi)/(b*x), 1, m*exp_polar(I*pi))*gamma(-m)/(-96*a**11*b*d**4*gamma(-m
+ 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b**3*d**4*x**2*gamma(-m +
1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b**5*d**4*x**4*gamma(-m + 1
) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1)) + 16*b**5*e**m*m*x**5*x**m*gamma(-m)/(
-96*a**11*b*d**4*gamma(-m + 1) + 96*a**10*b**2*d**4*x*gamma(-m + 1) + 192*a**9*b
**3*d**4*x**2*gamma(-m + 1) - 192*a**8*b**4*d**4*x**3*gamma(-m + 1) - 96*a**7*b*
*5*d**4*x**4*gamma(-m + 1) + 96*a**6*b**6*d**4*x**5*gamma(-m + 1))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{\left (e x\right )^{m}}{{\left (b d x - a d\right )}^{4}{\left (b x + a\right )}^{3}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((e*x)^m/((b*d*x - a*d)^4*(b*x + a)^3),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((e*x)^m/((b*d*x - a*d)^4*(b*x + a)^3), x)